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@MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="该文档探讨集合{1,2,...,2000}中元素和能被5整除的子集数量。通过递推法分组计算子集和得出递推公式，生成函数法则转化为多项式展开系数求和，利用单位根性质简化计算。最终求得结果为1/5(2^2000 + 4×2^400)，视频演示提供了直观理解。对于集合 {1,2,3,4,5,...,2000} ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和能被 5 整除? - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/2"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="该文档探讨集合{1,2,...,2000}中元素和能被5整除的子集数量。通过递推法分组计算子集和得出递推公式，生成函数法则转化为多项式展开系数求和，利用单位根性质简化计算。最终求得结果为1/5(2^2000 + 4×2^400)，视频演示提供了直观理解。对于集合 {1,2,3,4,5,...,2000} ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和能被 5 整除?"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2025-09-14T11:14:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2025-11-20T10:18:00.000Z"><meta 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itemprop="blogPost"><link itemprop="mainEntityOfPage" href="https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/2"><span hidden="" itemprop="publisher" itemscope="" itemtype="http://schema.org/Organization"><meta itemprop="name" content="Magicland"></span><span hidden="" itemprop="post" itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="D5-2000 Problem"><meta itemprop="description" content="该文档探讨集合{1,2,...,2000}中元素和能被5整除的子集数量。通过递推法分组计算子集和得出递推公式，生成函数法则转化为多项式展开系数求和，利用单位根性质简化计算。最终求得结果为1/5(2^2000 + 4×2^400)，视频演示提供了直观理解。对于集合 {1,2,3,4,5,...,2000} ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和能被 5 整除?"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">D5-2000 Problem</span></p><br><h1 hidden="">D5-2000 Problem</h1><div class="story post-story"><h2 id="Question"><a href="#Question" class="headerlink" title="Question"></a>Question</h2><p>Find the number of subsets of<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.75ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 9171.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{1,2,3,4,5,\dots,2000\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g 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style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="5"><g data-mml-node="mn" data-latex="5"><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 整除的<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.865ex" height="1.902ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1266.3 840.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="B_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="B_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="B"><path data-c="1D435" d="M756 543C756 634 666 683 568 683L236 683C213 683 203 682 203 659 203 643 223 644 235 644 265 643 283 641 288 640 293 639 295 636 295 631 295 629 294 623 291 613L159 82C154 60 144 47 129 42 122 40 104 39 73 39 52 39 42 31 42 15 42 5 52 0 73 0L426 0C491 0 551 20 608 59 671 102 703 155 703 217 703 296 638 344 567 358 655 379 756 446 756 543M554 644C623 644 658 612 658 547 658 496 638 454 596 420 554 386 507 370 456 370L317 370 377 610C385 644 385 644 427 644M582 299C596 276 603 253 603 228 603 176 583 131 542 94 501 57 455 39 402 39L267 39C257 39 250 39 246 40 240 40 237 42 237 45 237 46 237 49 238 53 269 180 293 276 309 340L493 340C536 340 565 326 582 299Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(792,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 子集，同样取数字和能被<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="5"><g data-mml-node="mn" data-latex="5"><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 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149 537 137Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(600,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1378,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 子集配对，个数为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.476ex" height="1.864ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1536.3 823.8"><g 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x^m \cdot x^n = x^{m+n}"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156 722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="x^{m+n}" transform="translate(1055.8,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442 389 442 355 419 329 373 308 419 273 442 222 442 173 442 133 419 101 374 74 335 60 306 60 287 60 278 65 273 75 273 84 273 90 278 92 287 111 345 153 413 220 413 253 413 269 392 269 351 269 330 251 252 216 118 199 51 169 18 126 18 112 18 99 21 88 26 114 36 127 54 127 80 127 106 114 119 87 119 54 119 29 91 29 58 29 12 76-11 125-11 167-11 201 12 228 58 247 12 283-11 335-11 383-11 423 12 455 57 482 96 496 125 496 144 496 153 491 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48L494 285C497 298 511 321 535 353 565 393 605 413 654 413 687 413 703 391 703 348 703 309 683 236 642 129 633 106 629 87 629 74 629 25 666-11 714-11 759-11 793 14 818 64 838 104 848 131 848 144 848 153 843 158 832 158 825 157 818 148 813 137 791 58 759 18 716 18 703 18 696 28 696 47 696 62 702 84 714 115 755 222 775 295 775 333 775 404 728 442 657 442Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(878,0)"><path data-c="2B" d="M698 274 413 274 413 559C413 575 405 583 389 583 373 583 365 575 365 559L365 274 80 274C64 274 56 266 56 250 56 234 64 226 80 226L365 226 365-59C365-75 373-83 389-83 405-83 413-75 413-59L413 226 698 226C714 226 722 234 722 250 722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(1656,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ，展开式中各项的次数即等于对应子集的元素和，因此系数就对应着有多少这样的子集。</p><p>由于元素和是否能被<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="5"><g data-mml-node="mn" data-latex="5"><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 整除只和模<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="5"><g data-mml-node="mn" data-latex="5"><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326 164 371 205 393 257 393 292 393 319 373 337 332 348 305 354 264 354 209 354 146 346 102 331 76 306 35 272 14 229 14 162 14 109 62 91 114 94 113 96 114 100 114 130 114 155 137 155 167 155 198 130 219 100 219 65 219 50 200 50 163 50 63 131-22 231-22 292-22 344 0 386 44 428 88 449 141 449 202 449 260 432 310 398 353 361 400 315 423 259 423 212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544 264 544 304 555 338 578 369 597 390 616 402 634 408 642 411 648 411 651 411 661 406 666 396 666 341 645 294 634 256 634 211 634 168 643 127 662 122 664 118 665 114 665 105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的余数有关，生成函数可以简化为</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:47.066ex"><svg style="vertical-align:-1.063ex;min-width:47.066ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="3.257ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -969.9)"><g data-mml-node="math" data-latex="
\begin{equation} \label{gen_fun}
G(x) = \left[(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{5})\right] ^{400}
\end{equation}
"><g data-mml-node="mtable" data-latex-item="{equation}" data-latex="
\begin{equation} \label{gen_fun}
G(x) = \left[(1+x)(1+x^2 )\cdots(1+x^{5})\right] ^{400}
\end{equation}
" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 969.9) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="8323.5 -969.9 1 1439.7"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-119.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 663 415 676 415 681 415 685 416 688 417 693 424 696 431 698 438L760 691C760 700 755 705 745 705 741 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666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 进行计算，得到<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.946ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2186 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="G(\omega) = 2^{400}"><g data-mml-node="mi" data-latex="G"><path data-c="1D43A" d="M324-22C412-22 481 5 532 59 538 46 564 1 578 1 583 1 586 4 588 8 590 12 597 32 606 68L624 144C630 167 634 184 637 195 648 239 648 238 702 239 715 239 721 247 721 263 721 273 716 278 705 278 686 278 620 274 601 275L462 278C446 278 438 270 438 254 438 245 444 241 456 240 513 237 543 235 546 233 549 231 550 227 550 222 550 215 543 185 530 133 510 61 436 17 343 17 221 17 148 98 148 220 148 239 150 263 153 290 164 372 218 487 261 540 311 603 403 666 505 666 609 666 660 587 660 479 660 470 657 438 657 429 657 420 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\frac 1 5 (2^{2000} + 4\times 2^{400})
"><g data-mml-node="mtable" data-latex="
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class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>D2-2000 Problem</p><p class="content">该文档探讨集合{1,2,...,2000}中元素和为偶数的子集数量。通过构造生成函数f(x)，即一系列(1+x^i)的乘积（i从1到2000），代入x=1得所有子集总数为2^2000，代入x=-1得函数值为0，最终计算出满足条件的子集数量为2^1999。这展示了生成函数将组合问题转化为函数求值的简化作用。对于集合 {1,2,3,4,5,...,2000} ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和能被 2 整除?</p></a><a class="next" href="/notes/P-2000/3"><p class="title">P-2000 Problem<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">该文档探讨集合{1,2,3,…,2000}中元素之和为素数的子集数量。文档指出此问题的答案是一个601位数字。对于集合 {1,2,3,4,5,...,2000} ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和是素数?Find the number of subsets of {1,2,3,4,5,...,2000} , the sum of whose elements is prime.</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> <span>推荐阅读</span></div><div class="recommended-article-group"> <a class="recommended-article-item" href="/notes/P-2000/1.html" title="D2-2000 Problem" rel="bookmark"><img 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