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Math,P-2000问题,开关灯问题,完全平方数,数列求和,MHuiG, @MHuiG, Blog, 博客, Magicland, 魔法世界"><meta desc="" name="description" content="本文解析了900盏灯开关状态问题，通过约数个数奇偶性判断灯状态，得出完全平方数灯最终打开。还求解了特定数列前n项和，并计算所有亮灯编号总和，最后对比了操作改为关闭时与埃氏筛法的联系。 - MHuiG - Magicland"><meta property="og:type" content="website"><meta property="og:title" content="Magicland"><meta property="og:url" content="https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/10"><meta property="og:site_name" content="Magicland"><meta property="og:description" content="本文解析了900盏灯开关状态问题，通过约数个数奇偶性判断灯状态，得出完全平方数灯最终打开。还求解了特定数列前n项和，并计算所有亮灯编号总和，最后对比了操作改为关闭时与埃氏筛法的联系。"><meta property="og:locale"><meta property="og:image" content="https://blog.mhuig.top/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"><meta property="article:published_time" content="2026-01-20T07:15:00.000Z"><meta property="article:modified_time" content="2026-01-20T07:23:00.000Z"><meta property="article:author" content="MHuiG"><meta property="article:tag" content="Math"><meta property="article:tag" content="P-2000问题"><meta 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itemscope="" itemtype="http://schema.org/CreativeWork"><meta itemprop="name" content="开关灯问题的数学解析与数列应用"><meta itemprop="description" content="本文解析了900盏灯开关状态问题，通过约数个数奇偶性判断灯状态，得出完全平方数灯最终打开。还求解了特定数列前n项和，并计算所有亮灯编号总和，最后对比了操作改为关闭时与埃氏筛法的联系。"></span><span hidden=""><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><span hidden="" itemprop="name headline"></span></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p> <span class="p logo center large">开关灯问题</span></p><br><h1 hidden="">开关灯问题</h1><div class="story post-story"><h2 id="问题"><a href="#问题" class="headerlink" title="问题"></a>问题</h2><p>某生产车间有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" 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d="M116 140C83 140 67 123 67 89 67 14 128-22 207-22 287-22 351 18 398 99 437 166 457 243 457 329 457 456 434 546 388 599 349 644 304 666 253 666 194 666 145 645 106 602 63 557 42 503 42 440 42 379 60 327 96 284 134 238 183 215 242 215 294 215 334 243 361 299L361 286C361 177 342 103 303 63 272 30 239 14 206 14 166 14 137 23 118 42 149 42 165 60 165 91 165 119 144 140 116 140M243 246C204 246 175 266 155 306 144 329 138 374 138 439 138 504 145 548 158 573 180 613 212 633 253 633 294 633 324 608 343 558 354 531 361 485 361 420 361 333 322 246 243 246Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320 460 473 428 575 365 625 330 652 291 666 250 666 109 666 39 551 39 320 39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332 371 240 367 172 360 128 347 48 310 8 249 8 226 8 203 17 182 34 155 57 139 104 132 176 129 201 128 253 128 332 128 419 131 480 136 513 145 568 163 603 191 618 213 630 232 636 249 636 314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(1000,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> ,初始时刻所有灯全部处于关闭状态，检修机器人按照下面的步骤进行检修 (改变某灯的开关状态的含义是，若该灯处于关闭状态，改变状态后则处于打开状态，反之则处于关闭状态):</p><p>1. 改变编号为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的倍数的灯的开关状态，即打开所有灯;</p><p>2. 改变编号为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="2"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的倍数的灯的开关状态，即关闭所有编号为偶数的灯. 以此类推第<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 179 226 231 221 286 196 286 146 286 131 279 101 279 91 279 34 316-11 373-11 431-11 470 41 490 145 490 154 485 159 475 159 466 159 460 152 457 138 435 59 408 19 375 19 357 19 348 33 348 61 348 77 360 131 360 147 360 204 314 239 221 253 244 269 270 292 298 322 326 352 346 371 359 382 386 404 412 415 435 415 445 415 453 413 459 409 432 404 409 379 409 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 步改变编号为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.179ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 521 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="k"><g data-mml-node="mi" data-latex="k"><path data-c="1D458" d="M409 353C409 327 423 314 450 314 485 314 508 345 508 379 508 418 476 445 437 445 392 445 344 415 291 356 250 311 217 282 190 269L291 679C289 688 287 694 274 694 242 694 166 685 154 684 139 682 132 675 132 660 132 650 141 645 159 645 178 645 204 646 204 632L59 43C56 32 55 25 55 21 55 0 66-11 87-11 104-11 117-3 124 12 129 21 147 92 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height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2036.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{a_n\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\}" transform="translate(1536.3,0)"><path data-c="7D" d="M286 374 286 622C286 664 263 697 216 721 179 740 137 750 91 750 80 750 75 745 75 734 75 723 80 718 91 718 152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250 249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218 80-218 75-223 75-234 75-245 80-250 91-250 137-250 179-240 216-221 263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234 420 234 425 239 425 250 425 261 420 266 409 266 345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的前<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 项和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.535ex" height="1.952ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1120.3 862.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="S_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(646,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> ;</p><p>(ii) 检修完成时，求所有处于打开状态的灯的编号总和.</p></div><div class="story post-story"><h2 id="解答"><a href="#解答" class="headerlink" title="解答"></a>解答</h2><h3 id="1-编号为30的灯的开关状态"><a href="#1-编号为30的灯的开关状态" class="headerlink" title="(1) 编号为30的灯的开关状态"></a>(1) 编号为 30 的灯的开关状态</h3><p>一盏灯的开关状态取决于其被操作的次数：初始关闭时，操作奇数次则打开，偶数次则关闭。灯的编号为 30，其被操作的次数等于 30 的正约数个数（第 k 步操作编号为 k 倍数的灯）。<br>30 的正约数为 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30，共 8 个（偶数）。因此，30 号灯被操作 8 次，最终处于<strong>关闭状态</strong>。</p><h3 id="2-i-数列-a-n-的前-n-项和-S-n"><a href="#2-i-数列-a-n-的前-n-项和-S-n" class="headerlink" title="(2) (i) 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$"></a>(2) (i) 数列<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.607ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2036.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{a_n\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122 286 126C286 183 251 225 182 250 251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718 420 718 425 723 425 734 425 745 420 750 409 750 363 750 321 740 284 721 237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266 80 266 75 261 75 250 75 239 80 234 91 234 155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221 321-240 363-250 409-250 420-250 425-245 425-234 425-223 420-218 409-218 348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158 474 158 468 151 465 137 445 58 421 18 394 18 377 18 368 32 368 60 368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392 445 412 434 422 412 422 391 422 377 410 370 387 349 424 319 442 281 442 216 442 159 409 109 343 63 281 40 217 40 150 40 63 91-11 175-11 218-11 260 12 300 58 311 20 345-11 392-11 461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330 355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87 248 41 212 18 177 18 138 18 118 48 118 107 118 131 124 167 136 215 157 300 187 357 224 388 244 405 263 413 282 413 309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\}" transform="translate(1536.3,0)"><path data-c="7D" d="M286 374 286 622C286 664 263 697 216 721 179 740 137 750 91 750 80 750 75 745 75 734 75 723 80 718 91 718 152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250 249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218 80-218 75-223 75-234 75-245 80-250 91-250 137-250 179-240 216-221 263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234 420 234 425 239 425 250 425 261 420 266 409 266 345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的前<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="n"><g data-mml-node="mi" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 451 442 381 442 322 442 271 416 230 363 222 407 187 442 136 442 80 442 58 390 44 345 34 313 29 294 29 287 29 278 34 273 45 273 50 273 53 274 56 276 61 285 64 292 65 299 83 375 106 413 133 413 151 413 160 399 160 371 160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19 78-1 89-11 111-11 130-11 144-1 151 19 153 24 159 49 170 92L191 181 221 295C232 318 249 341 270 365 299 397 335 413 378 413 411 413 427 391 427 348 427 310 406 234 363 120 356 102 353 87 353 74 353 25 390-11 438-11 482-11 517 14 542 64 561 104 571 131 571 144 571 153 566 158 555 158 552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 项和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.535ex" height="1.952ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1120.3 862.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="S_n"><g data-mml-node="msub" data-latex="S_n"><g data-mml-node="mi" data-latex="S"><path data-c="1D446" d="M133 157C133 181 136 201 141 217 141 227 136 232 125 232 120 232 116 230 114 228 109 223 52 8 52-8 52-17 57-22 67-22 72-22 79-17 88-6L133 47C168 1 224-22 300-22 366-22 424 5 476 58 528 111 554 170 554 236 554 283 538 323 505 355 490 368 470 379 445 388 422 393 400 399 378 405L312 423C279 432 254 469 254 509 254 552 271 589 306 621 341 653 380 669 423 669 515 669 561 619 561 520 561 502 557 482 557 465L557 462C560 455 565 451 573 451 582 451 588 459 592 474L645 691C645 700 640 705 630 705 625 705 618 700 609 689L566 637C538 682 491 705 424 705 361 705 304 681 254 634 202 586 176 531 176 468 176 396 223 339 282 323L387 296C441 281 475 262 475 195 475 149 457 108 422 72 387 36 347 17 302 17 204 17 133 60 133 157Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(646,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18 427 18 420 28 420 47 420 61 426 84 438 115 478 224 498 296 498 333 498 403 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data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg><mjx-break size="4"></mjx-break><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.782ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2555.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="30^2=900"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367 80 367C64 367 56 359 56 344 56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344 722 356 711 367 698 367M698 179 80 179C64 179 56 171 56 156 56 141 64 133 80 133L698 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data-latex="1^2"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 352 470 352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0 450 180 417 180C409 129 402 100 396 91 391 86 361 84 306 84L139 84 236 179C304 243 390 312 419 365 439 400 449 435 449 470 449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(936.6,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50 86 20 109-5 139-5 153-5 165-1 174 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class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align:-.437ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.777ex" height="2.391ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864 5647.3 1057"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1^2,2^2,\dots,30^2"><g data-mml-node="msup" data-latex="1^2"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47 195 42 170 39 130 39L95 39 95 0C120 2 174 3 257 3 340 3 394 2 419 0L419 39 384 39C343 39 318 42 310 47 302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612 69 576 50 534 50 483 50 449 75 424 106 424 136 424 161 450 161 480 161 513 137 536 105 536 102 536 100 536 98 535 117 584 161 627 224 627 306 627 352 556 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class="headerlink" title="题目更改"></a>题目更改</h2><p>把题目中的 "改变灯的开关状态" 变为 "把灯关闭",这样就变成了 "埃氏筛" 的操作，与平方数有关变成了与素数有关。</p><p>原问题中 “改变开关状态” 本质是对灯进行 “ toggle 操作”（开变关、关变开），最终状态由约数个数的奇偶性决定（平方数因约数个数为奇数而保持打开）。而将操作改为 “把灯关闭”（即仅执行 “关闭” 动作，不改变已关闭状态）后，整个过程完全对应埃拉托斯特尼筛法，最终打开的灯不再是平方数，而是素数。</p><p>还有一件事：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true" width="full" style="min-width:49.373ex"><svg style="vertical-align:-.717ex;min-width:49.373ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.565ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -817)"><g data-mml-node="math" data-latex="
1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2
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Problem</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/5" href="/notes/P-2000/5" active-action="action-notesP-20005"><div class="name"> P-2000问题是#P完全问题</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/6" href="/notes/P-2000/6" active-action="action-notesP-20006"><div class="name"> P-n问题与计数版本子集和问题的归约关系</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/7" href="/notes/P-2000/7" active-action="action-notesP-20007"><div class="name"> P-2000问题与子集和问题的计算复杂性关联分析</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/8" href="/notes/P-2000/8" active-action="action-notesP-20008"><div class="name"> 暴力破解：确定P-2000问题的规模</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/9" href="/notes/P-2000/9" active-action="action-notesP-20009"><div class="name"> 暴力穷举：一个简单的P-5问题示例</div></a></li><li><a class="flat-box" title="/notes/P-2000/10" href="/notes/P-2000/10" active-action="action-notesP-200010"><div class="name"> 开关灯问题</div></a></li></ul></div></section><div 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