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class="menu navigation"><div class="list-h"><a target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer" href="https://github.com/MHuiG" active-action="action-https:githubcomMHuiG"><i class="fa-brands fa-github color-github fa-fw"></i><p>Github</p></a><a href="/pages/friends/" active-action="action-pagesfriends"><i class="fa-duotone fa-link color-friends fa-fw"></i><p>友链</p></a><a href="/pages/about/" active-action="action-pagesabout"><i class="fa-duotone fa-user-tie color-about fa-fw"></i><p>关于</p></a><a href="https://www.travellings.cn/go-by-clouds.html" target="_blank" active-action="action-https:wwwtravellingscngo-by-cloudshtml" rel="external nofollow noopener noreferrer"><i class="fa-duotone fa-subway color-travellings fa-fw"></i><p>Travelling</p></a></div></div></div></div><div id="scroll-down" style="display:none"><i class="fa fa-chevron-down scroll-down-effects"></i></div></div></div><div id="safearea"><div class="body-wrapper"><div id="l_main" class><article itemscope itemtype="http://schema.org/Article" class="article post white-box reveal md shadow floatable blur article-type-post" id="post" itemprop="blogPost"><link itemprop="mainEntityOfPage" href="https://blog.mhuig.top/p/xa6297acc/"><span hidden itemprop="publisher" itemscope itemtype="http://schema.org/Organization"><meta itemprop="name" content="MHuiG"></span><span hidden itemprop="post" itemscope itemtype="http://schema.org/Post"><meta itemprop="name" content="MHuiG"><meta itemprop="description" content="MHuiG&#39;s Blog (MHuiG的博客) MHuiG&#39;s Neverland（MHuiG的梦幻岛） —— MHuiG(@MHuiG) 随便写写画画的地方 - 技术博客"></span><span hidden><meta itemprop="image" content="/lib/favicon/android-chrome-192x192.png"></span><div class="article-meta" id="top"><h1 class="title" itemprop="name headline"> 理解卷积</h1><div class="new-meta-box"><div class="new-meta-item author" itemprop="author" itemscope itemtype="http://schema.org/Person"> <a itemprop="url" class="author" target="_blank" href="https://mhuig.top/" rel="nofollow noopener"><img itemprop="image" src="/lib/avatar/avatar-16.webp?v=2199236952" class="lazyload" data-srcset="/lib/avatar/avatar-16.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw=="><p itemprop="name">MHuiG</p></a></div><div class="new-meta-item wordcount"><a class="notlink"><i class="fa-duotone fa-keyboard fa-fw" aria-hidden="true"></i><p>字数：2.2k 字</p></a></div><div class="new-meta-item readtime"><a class="notlink"><i class="fa-duotone fa-hourglass-half fa-fw" aria-hidden="true"></i><p>时长：7 分钟</p></a></div></div></div><div id="layoutHelper-page-plugins"></div><div id="post-body" itemprop="articleBody"><p>本文的目的是深入的理解卷积，通过一些示例，卷积将会成为一个非常简单的想法.</p><span id="more"></span><div class="story post-story"><h2 id="抛球的经验"><a href="#抛球的经验" class="headerlink" title="抛球的经验"></a>抛球的经验</h2><p>想象一下，我们将一个球从某个高度掉落到地面上，球在该地面只能在一个方向上运动，如果您将球放下然后从其着陆点上方再次放下，球可能会前进的距离<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>是多少？</p><p>让我们分解一下。在第一次下落之后，它将以概率<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705 502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603 443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668 445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469 380 433Q380 431 435 431 480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282-47 255-132 212-173 175-205 139-205 107-205 81-186T55-132Q55-95 76-78T118-61Q162-61 162-103 162-122 151-136T127-157L118-162Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442 467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292 458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391 454 404 425 404 412 404 406 402 368 386 350 336 290 115 290 78 290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145 504 144 502 134 486 77 440 33T333-11Q263-11 227 52 186-10 133-10H127Q78-10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101 142 81 130 66T107 46 94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29 132 26Q168 26 194 71 203 87 217 139T245 247 261 313Q266 340 266 352 266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 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328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>个单位，其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705 502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603 443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668 445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469 380 433Q380 431 435 431 480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282-47 255-132 212-173 175-205 139-205 107-205 81-186T55-132Q55-95 76-78T118-61Q162-61 162-103 162-122 151-136T127-157L118-162Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>是概率分布。</p><p>现在，在第一次下落之后，我们将球捡起并从其首次着陆点上方的另一个高度下落。球从新起点滚动<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402 231 442 283 442 345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173-11Q123-11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640 73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405 258 405 240 397T207 376 181 352 163 330L157 322 136 236Q114 150 114 114 114 66 138 42 154 26 178 26 211 26 245 58 270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>单位的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.81ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1684 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412 431 419 447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363-80Q345-134 286-169T151-205Q10-205 10-137 10-111 28-91T74-71Q89-71 102-80T116-111Q116-121 114-130T107-144 99-154 92-162L90-164H91Q101-167 151-167 189-167 211-155 234-144 254-122T282-75Q288-56 298-13 311 35 311 43ZM384 328 380 339Q377 350 375 354T369 368 359 382 346 393 328 402 306 405Q262 405 221 352 191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38 269 38 323 108L331 118 384 328Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(477,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(866,0)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402 231 442 283 442 345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173-11Q123-11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640 73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405 258 405 240 397T207 376 181 352 163 330L157 322 136 236Q114 150 114 114 114 66 138 42 154 26 178 26 211 26 245 58 270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1295,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 66-225 221-64 221 250T66 725Q56 737 55 738 55 746 60 749Z"/></g></g></g></svg></mjx-container> , 其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412 431 419 447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363-80Q345-134 286-169T151-205Q10-205 10-137 10-111 28-91T74-71Q89-71 102-80T116-111Q116-121 114-130T107-144 99-154 92-162L90-164H91Q101-167 151-167 189-167 211-155 234-144 254-122T282-75Q288-56 298-13 311 35 311 43ZM384 328 380 339Q377 350 375 354T369 368 359 382 346 393 328 402 306 405Q262 405 221 352 191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38 269 38 323 108L331 118 384 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>如果从不同高度掉落，则可能是不同的概率分布。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001306301/20200504112434.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001306301/20200504112434.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="在第一次下落之后，我们将球捡起并从其首次着陆点上方的另一个高度下落。"></p><p>如果我们确定了第一个的结果，我们就知道了球的移动距离<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，对于球的总距离为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，第二个球的移动距离也固定为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402 231 442 283 442 345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173-11Q123-11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640 73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405 258 405 240 397T207 376 181 352 163 330L157 322 136 236Q114 150 114 114 114 66 138 42 154 26 178 26 211 26 245 58 270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，其中<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.93ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3947 776"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751.2,0)"><path data-c="2B" d="M56 237T56 250 70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583 402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401-82 391-82H389 387Q375-82 369-68V230H70Q56 237 56 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1751.4,0)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402 231 442 283 442 345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173-11Q123-11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640 73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405 258 405 240 397T207 376 181 352 163 330L157 322 136 236Q114 150 114 114 114 66 138 42 154 26 178 26 211 26 245 58 270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2458.2,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347 722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153 722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3514,0)"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。因此发生这种情况的可能性就是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.646ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4263.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705 502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603 443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668 445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469 380 433Q380 431 435 431 480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282-47 255-132 212-173 175-205 139-205 107-205 81-186T55-132Q55-95 76-78T118-61Q162-61 162-103 162-122 151-136T127-157L118-162Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 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transform="translate(2579.4,0)"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412 431 419 447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363-80Q345-134 286-169T151-205Q10-205 10-137 10-111 28-91T74-71Q89-71 102-80T116-111Q116-121 114-130T107-144 99-154 92-162L90-164H91Q101-167 151-167 189-167 211-155 234-144 254-122T282-75Q288-56 298-13 311 35 311 43ZM384 328 380 339Q377 350 375 354T369 368 359 382 346 393 328 402 306 405Q262 405 221 352 191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38 269 38 323 108L331 118 384 328Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3056.4,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3445.4,0)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402 231 442 283 442 345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173-11Q123-11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640 73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405 258 405 240 397T207 376 181 352 163 330L157 322 136 236Q114 150 114 114 114 66 138 42 154 26 178 26 211 26 245 58 270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3874.4,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 66-225 221-64 221 250T66 725Q56 737 55 738 55 746 60 749Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p>让我们考虑一个具体的离散示例。 我们希望总距离<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="33" d="M127 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664 351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336 375 315Q457 262 457 175 457 96 395 37T238-22Q158-22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94 148 82 136 74 126 70 118 67L114 66Q165 21 238 21 293 21 321 74 338 107 338 175V195Q338 290 274 322 259 328 213 329L171 330 168 332Q166 335 166 348 166 366 174 366 202 366 232 371 266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612 265 626 240 626 208 626 181 615T143 592 132 580H135Q138 579 143 578T153 573 165 566 175 555 183 540 186 520Q186 498 172 481T127 463Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的总距离的唯一方法。球第一次可以滚动<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="31" d="M213 578 200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641 273 663Q275 666 285 666 294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48 401 46H427V0H416Q395 3 257 3 121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47 193 50 201 52 207 57 213 61V578Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>个单位，第二次可以滚动<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315 301 241Q265 210 201 149L142 93 218 92Q375 92 385 97 392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19 31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137 145 147 170 174T204 211 233 244 261 278 284 308 305 340 320 369 333 401 340 431 343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569 109 550Q109 549 114 549 132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>个单位。 或第一次为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666 297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320 460 165 417 83 397 41 362 16T301-15 250-22Q224-22 198-16T137 16 82 83Q39 165 39 320 39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629 208 629 178 597 153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16 290 16 318 46 347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，第二次为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664 351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336 375 315Q457 262 457 175 457 96 395 37T238-22Q158-22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94 148 82 136 74 126 70 118 67L114 66Q165 21 238 21 293 21 321 74 338 107 338 175V195Q338 290 274 322 259 328 213 329L171 330 168 332Q166 335 166 348 166 366 174 366 202 366 232 371 266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612 265 626 240 626 208 626 181 615T143 592 132 580H135Q138 579 143 578T153 573 165 566 175 555 183 540 186 520Q186 498 172 481T127 463Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。 只要将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402 231 442 283 442 345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173-11Q123-11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640 73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405 258 405 240 397T207 376 181 352 163 330L157 322 136 236Q114 150 114 114 114 66 138 42 154 26 178 26 211 26 245 58 270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>加和等于<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664 351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336 375 315Q457 262 457 175 457 96 395 37T238-22Q158-22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94 148 82 136 74 126 70 118 67L114 66Q165 21 238 21 293 21 321 74 338 107 338 175V195Q338 290 274 322 259 328 213 329L171 330 168 332Q166 335 166 348 166 366 174 366 202 366 232 371 266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612 265 626 240 626 208 626 181 615T143 592 132 580H135Q138 579 143 578T153 573 165 566 175 555 183 540 186 520Q186 498 172 481T127 463Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，它就可以取任意值。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001370125/20200504112524.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001370125/20200504112524.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="达到3的总距离的方法"></p><p>这个概率分别是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.741ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4305.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705 502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603 443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668 445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469 380 433Q380 431 435 431 480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282-47 255-132 212-173 175-205 139-205 107-205 81-186T55-132Q55-95 76-78T118-61Q162-61 162-103 162-122 151-136T127-157L118-162Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(939,0)"><path data-c="31" d="M213 578 200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641 273 663Q275 666 285 666 294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48 401 46H427V0H416Q395 3 257 3 121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 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154 447T109 429Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3916.4,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 66-225 221-64 221 250T66 725Q56 737 55 738 55 746 60 749Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.741ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4305.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705 502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 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442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的总可能性，我们不能仅考虑一种到达<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的可能方式。 相反，我们考虑将<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>划分为两个球<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402 231 442 283 442 345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173-11Q123-11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640 73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405 258 405 240 397T207 376 181 352 163 330L157 322 136 236Q114 150 114 114 114 66 138 42 154 26 178 26 211 26 245 58 270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的所有可能方法，并对每种方法的概率求和。</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width:50.214ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:50.214ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g 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id="mjx-eqn:2" transform="translate(0,1157.9)"><text data-id-align="true"/><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315 301 241Q265 210 201 149L142 93 218 92Q375 92 385 97 392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19 31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137 145 147 170 174T204 211 233 244 261 278 284 308 305 340 320 369 333 401 340 431 343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569 109 550Q109 549 114 549 132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z" transform="translate(389,0)"/><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 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414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>处，则它有概率<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.782ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3439.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412 431 419 447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363-80Q345-134 286-169T151-205Q10-205 10-137 10-111 28-91T74-71Q89-71 102-80T116-111Q116-121 114-130T107-144 99-154 92-162L90-164H91Q101-167 151-167 189-167 211-155 234-144 254-122T282-75Q288-56 298-13 311 35 311 43ZM384 328 380 339Q377 350 375 354T369 368 359 382 346 393 328 402 306 405Q262 405 221 352 191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38 269 38 323 108L331 118 384 328Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(477,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(866,0)"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1521.2,0)"><path data-c="2212" d="M84 237T84 250 98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2521.4,0)"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3050.4,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 66-225 221-64 221 250T66 725Q56 737 55 738 55 746 60 749Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>降落在位置<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>处。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001415676/20200504112819.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001415676/20200504112819.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="考虑球可能着陆的位置"></p><p>为了得到卷积，我们考虑所有中间位置。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001443618/20200504112854.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001443618/20200504112854.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="考虑所有中间位置"></p></div><div class="story post-story"><h2 id="可视化卷积"><a href="#可视化卷积" class="headerlink" title="可视化卷积"></a>可视化卷积</h2><p>有一个很好的技巧，可以帮助人们更轻松地思考卷积。</p><p>首先，观察。 假设一个球从其起点降落一定距离<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442 467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292 458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391 454 404 425 404 412 404 406 402 368 386 350 336 290 115 290 78 290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145 504 144 502 134 486 77 440 33T333-11Q263-11 227 52 186-10 133-10H127Q78-10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101 142 81 130 66T107 46 94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29 132 26Q168 26 194 71 203 87 217 139T245 247 261 313Q266 340 266 352 266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705 502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603 443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668 445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469 380 433Q380 431 435 431 480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282-47 255-132 212-173 175-205 139-205 107-205 81-186T55-132Q55-95 76-78T118-61Q162-61 162-103 162-122 151-136T127-157L118-162Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442 467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292 458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391 454 404 425 404 412 404 406 402 368 386 350 336 290 115 290 78 290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145 504 144 502 134 486 77 440 33T333-11Q263-11 227 52 186-10 133-10H127Q78-10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101 142 81 130 66T107 46 94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29 132 26Q168 26 194 71 203 87 217 139T245 247 261 313Q266 340 266 352 266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 66-225 221-64 221 250T66 725Q56 737 55 738 55 746 60 749Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。 然后，此后，它从着陆点开始的距离为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442 467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292 458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391 454 404 425 404 412 404 406 402 368 386 350 336 290 115 290 78 290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145 504 144 502 134 486 77 440 33T333-11Q263-11 227 52 186-10 133-10H127Q78-10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101 142 81 130 66T107 46 94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29 132 26Q168 26 194 71 203 87 217 139T245 247 261 313Q266 340 266 352 266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.059ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2678 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705 502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603 443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668 445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469 380 433Q380 431 435 431 480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282-47 255-132 212-173 175-205 139-205 107-205 81-186T55-132Q55-95 76-78T118-61Q162-61 162-103 162-122 151-136T127-157L118-162Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(939,0)"><path data-c="2212" d="M84 237T84 250 98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1717,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442 467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292 458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391 454 404 425 404 412 404 406 402 368 386 350 336 290 115 290 78 290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145 504 144 502 134 486 77 440 33T333-11Q263-11 227 52 186-10 133-10H127Q78-10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101 142 81 130 66T107 46 94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29 132 26Q168 26 194 71 203 87 217 139T245 247 261 313Q266 340 266 352 266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2289,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 66-225 221-64 221 250T66 725Q56 737 55 738 55 746 60 749Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001476917/20200504113141.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001476917/20200504113141.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="观察"></p><p>如果我们知道球在第二次下降后落在位置<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>上，那么前一个位置是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率是多少？</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001517967/20200504113212.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001517967/20200504113212.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="概率是多少？"></p><p>因此，先前位置为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.101ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 9768.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412 431 419 447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363-80Q345-134 286-169T151-205Q10-205 10-137 10-111 28-91T74-71Q89-71 102-80T116-111Q116-121 114-130T107-144 99-154 92-162L90-164H91Q101-167 151-167 189-167 211-155 234-144 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417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.201ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1857 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705 502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603 443 622 454 636T478 657L487 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51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1468,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 66-225 221-64 221 250T66 725Q56 737 55 738 55 746 60 749Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。 我们还知道，如果它降落在<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>上，它进入<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>的概率为<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.782ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3439.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412 431 419 447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363-80Q345-134 286-169T151-205Q10-205 10-137 10-111 28-91T74-71Q89-71 102-80T116-111Q116-121 114-130T107-144 99-154 92-162L90-164H91Q101-167 151-167 189-167 211-155 234-144 254-122T282-75Q288-56 298-13 311 35 311 43ZM384 328 380 339Q377 350 375 354T369 368 359 382 346 393 328 402 306 405Q262 405 221 352 191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38 269 38 323 108L331 118 384 328Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(477,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(866,0)"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1521.2,0)"><path data-c="2212" d="M84 237T84 250 98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2521.4,0)"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3050.4,0)"><path data-c="29" d="M60 749 64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12 224-76 186-143 145-194 113-227 90-246Q87-249 86-250H74Q66-250 63-250T58-247 55-238Q56-237 66-225 221-64 221 250T66 725Q56 737 55 738 55 746 60 749Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001552544/20200504113228.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001552544/20200504113228.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="考虑每个中间位置"></p><p>对所有<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392 386 422 416 422 429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35 443 55 463 131 469 151 473 152 475 153 483 153H487Q506 153 506 144 506 138 501 117T481 63 449 13Q436 0 417-8 409-10 393-10 359-10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50 294 48 292 46 233-10 172-10 117-10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129 119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>求和，我们得到了卷积。</p><p>这种方法的优点是，它使我们可以在单个图片中可视化卷积在值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>处的评估。 通过移动下半部分，我们可以评估其他<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325 330 359 352 380 366 386H367Q367 388 361 392T340 400 306 404Q276 404 249 390 228 381 206 359 162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50 169 26 205 26H209Q321 26 394 111 403 121 406 121 410 121 419 112T429 98 420 83 391 55 346 25 282 0 202-11Q127-11 81 37T34 159Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>值的卷积。 这使我们能够从整体上理解卷积。</p><p>例如，我们可以看到分布对齐时达到峰值。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001584297/20200504113307.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001584297/20200504113307.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="分布对齐时达到峰值"></p><p>且随着分布之间的交点变小而缩小。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001617289/20200504113355.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001617289/20200504113355.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="随着分布之间的交点变小而缩小"></p><p>过在动画中使用此技巧，实际上可以从视觉上理解卷积。</p><p>下面，我们可以看到两个框函数的卷积：</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.4/data/20200504113430.gif" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/imbox@0.0.4/data/20200504113430.gif" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="两个框函数的卷积"></p><p>有了这种观点，很多事情就会变得更加直观。</p><p>让我们考虑一个非概率示例。 卷积有时在音频处理中使用。 例如，一个函数可能会使用其中有两个尖峰但在其他所有地方为零的函数来创建回波。 当我们的双尖峰功能滑动时，一个尖峰首先击中一个时间点，将该信号添加到输出声音中，然后又出现另一个尖峰，并添加第二个延迟副本。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="高维卷积"><a href="#高维卷积" class="headerlink" title="高维卷积"></a>高维卷积</h2><p>卷积是一个非常笼统的想法。我们还可以将它们用于更大的尺寸。</p><p>让我们再次考虑一个落球的例子。现在，随着位置的下降，它的位置不仅在一维，而在二维。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001649550/20200504113452.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001649550/20200504113452.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="二维落球的例子"></p><p>卷积与以前相同：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width:36.118ex"><svg style="vertical-align:-1.941ex;min-width:36.118ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.013ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -1357.9)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1357.9) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="5904 -1357.9 1 2215.7"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,407.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><path data-c="1D453" d="M118-162Q120-162 124-164T135-167 147-168Q160-168 171-155T187-126Q197-99 221 27T267 267 289 382V385H242Q195 385 192 387 188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432 298 434 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data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001695361/20200504113514.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="卷积核"></p><p>卷积核滑动到图像的每个位置，并计算一个新像素作为其浮动像素的加权和。</p><p>例如，通过平均 3x3 像素矩阵，我们可以使图像模糊。 为此，我们的内核在框中的每个像素上取值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.816ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.795ex" height="2.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 793.6 1225.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578 200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641 273 663Q275 666 285 666 294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48 401 46H427V0H416Q395 3 257 3 121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47 193 50 201 52 207 57 213 61V578Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><path data-c="39" d="M352 287Q304 211 232 211 154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606 171 666 243 666 245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651 370 619 413 560Q456 472 456 334 456 194 396 97 361 41 312 10T208-22Q147-22 108 7T68 93 121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49 135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27 206 22H212Q272 22 313 86 352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542 341 552 337 562T323 588 293 615 246 625Q208 625 181 598 160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"/></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"/></g></g></g></svg></mjx-container>，</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001732433/20200504113634.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001732433/20200504113634.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="使图像模糊"></p><p>我们还可以通过在两个相邻像素上取值<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1278 748"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="2212" d="M84 237T84 250 98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><path data-c="31" d="M213 578 200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641 273 663Q275 666 285 666 294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48 401 46H427V0H416Q395 3 257 3 121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47 193 50 201 52 207 57 213 61V578Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>和<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><path data-c="31" d="M213 578 200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641 273 663Q275 666 285 666 294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48 401 46H427V0H416Q395 3 257 3 121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47 193 50 201 52 207 57 213 61V578Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>，在其他所有位置取零来检测边缘。 也就是说，我们减去两个相邻像素。 当并排像素相似时，这大约等于零。 然而，在边缘上，相邻像素在垂直于边缘的方向上有很大不同。</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001763320/20200504113659.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001763320/20200504113659.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="检测边缘"></p></div><div class="story post-story"><h2 id="卷积神经网络"><a href="#卷积神经网络" class="headerlink" title="卷积神经网络"></a>卷积神经网络</h2><p>那么，卷积与卷积神经网络有何关系？</p><p>考虑一个具有输入<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.442ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1079.3 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442 467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292 458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391 454 404 425 404 412 404 406 402 368 386 350 336 290 115 290 78 290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145 504 144 502 134 486 77 440 33T333-11Q263-11 227 52 186-10 133-10H127Q78-10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101 142 81 130 66T107 46 94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29 132 26Q168 26 194 71 203 87 217 139T245 247 261 313Q266 340 266 352 266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341 56 388 89 425 135 442Q171 442 195 424T225 390 231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442 436 442 469 415T503 336 465 179 427 52Q427 26 444 26 450 26 453 27 482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153 580 153 580 145 580 144 576 130 568 101 554 73T508 17 439-10Q392-10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291 189 157Q156 26 151 16 138-11 108-11 95-11 87-5T76 7 74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366 153 405 129 405 91 405 66 305 60 285 60 284 58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"/></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>和输出<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.256ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 997.3 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406 158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334 247 331 231 288T198 191 182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61 339 94Q339 95 344 114T358 173 377 247Q415 397 419 404 432 431 462 431 475 431 483 424T494 412 496 403Q496 390 447 193T391-23Q363-106 294-155T156-205Q111-205 77-183T43-117Q43-95 50-80T69-58 89-48 106-45Q150-45 150-87 150-107 138-122T115-142 102-147L99-148Q101-153 118-160T152-167H160Q177-167 186-165 219-156 247-127T290-65 313-9 321 21L315 17Q309 13 296 6T270-6Q250-11 231-11 185-11 150 11T104 82Q103 89 103 113 103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381 173 390 173 393T169 400 158 404H154Q131 404 112 385T82 344 65 302 57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341 56 388 89 425 135 442Q171 442 195 424T225 390 231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442 436 442 469 415T503 336 465 179 427 52Q427 26 444 26 450 26 453 27 482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153 580 153 580 145 580 144 576 130 568 101 554 73T508 17 439-10Q392-10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291 189 157Q156 26 151 16 138-11 108-11 95-11 87-5T76 7 74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366 153 405 129 405 91 405 66 305 60 285 60 284 58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"/></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>的一维卷积层，就像这样：</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001792007/20200504113718.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001792007/20200504113718.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="一维卷积层"></p><p>正如我们观察到的，我们可以用输入来描述输出：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width:29.725ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:29.725ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4491.2 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406 158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334 247 331 231 288T198 191 182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61 339 94Q339 95 344 114T358 173 377 247Q415 397 419 404 432 431 462 431 475 431 483 424T494 412 496 403Q496 390 447 193T391-23Q363-106 294-155T156-205Q111-205 77-183T43-117Q43-95 50-80T69-58 89-48 106-45Q150-45 150-87 150-107 138-122T115-142 102-147L99-148Q101-153 118-160T152-167H160Q177-167 186-165 219-156 247-127T290-65 313-9 321 21L315 17Q309 13 296 6T270-6Q250-11 231-11 185-11 150 11T104 82Q103 89 103 113 103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381 173 390 173 393T169 400 158 404H154Q131 404 112 385T82 344 65 302 57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341 56 388 89 425 135 442Q171 442 195 424T225 390 231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442 436 442 469 415T503 336 465 179 427 52Q427 26 444 26 450 26 453 27 482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153 580 153 580 145 580 144 576 130 568 101 554 73T508 17 439-10Q392-10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291 189 157Q156 26 151 16 138-11 108-11 95-11 87-5T76 7 74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366 153 405 129 405 91 405 66 305 60 285 60 284 58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"/></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1275,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347 722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153 722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2330.8,0)"><path data-c="1D434" d="M208 74Q208 50 254 46 272 46 272 35 272 34 270 22 267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1 141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11 37 38 48 46H62Q132 49 164 96 170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555 572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57 641 46 701 46 726 46 726 36 726 34 723 22 720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1 578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260 413 259Q516 259 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transform="translate(2152.6,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253 656 197 644 161T609 80 554 12 482-11Q438-11 404 5T355 48Q354 47 352 44 311-11 252-11 226-11 202-5T155 14 118 53 104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381 173 390 173 393T169 400 158 404H154Q131 404 112 385T82 344 65 302 57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287 21 293 29 315T52 366 96 418 161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136 341 143 342 152 345 165 348 182 354 206 362 238 373 281Q402 395 406 404 419 431 449 431 468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42 487 26Q558 26 600 148 609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357 580 385Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(749,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578 200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641 273 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权重是神经元的心脏，控制神经元的行为。说多个神经元是相同的，这与说权重相同是一回事。</p><p>卷积将为我们处理的是神经元的这种连线，描述了所有权重以及哪些权重相同。</p><p>通常，我们一次而不是单独描述一个层中的所有神经元。 诀窍是要有一个权重矩阵<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.371ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1048 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44A" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674 695 670 692 659 687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624 597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170 666 200 690 241 720 295 759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647 817 650 819 660 823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682 949 681Q1015 681 1034 683 1048 683 1048 672 1048 666 1045 655T1038 640 1028 637Q1006 637 988 631T958 617 939 600 927 584L923 578 754 282Q586-14 585-15 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-1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="3222 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406 158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334 247 331 231 288T198 191 182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61 339 94Q339 95 344 114T358 173 377 247Q415 397 419 404 432 431 462 431 475 431 483 424T494 412 496 403Q496 390 447 193T391-23Q363-106 294-155T156-205Q111-205 77-183T43-117Q43-95 50-80T69-58 89-48 106-45Q150-45 150-87 150-107 138-122T115-142 102-147L99-148Q101-153 118-160T152-167H160Q177-167 186-165 219-156 247-127T290-65 313-9 321 21L315 17Q309 13 296 6T270-6Q250-11 231-11 185-11 150 11T104 82Q103 89 103 113 103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381 173 390 173 393T169 400 158 404H154Q131 404 112 385T82 344 65 302 57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"/></g><g data-mml-node="mo" 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alt="许多权重出现在多个位置"></p><p>对应于等式：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width:37.143ex"><svg style="vertical-align:-.566ex;min-width:37.143ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.262ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -750)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 750) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="5630.6 -750 1 1000"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406 158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334 247 331 231 288T198 191 182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61 339 94Q339 95 344 114T358 173 377 247Q415 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transform="translate(1204.3,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347 722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153 722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2260.1,0)"><path data-c="1D70E" d="M184-11Q116-11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427 562 425 565 422 567 420 569 416 570 412 571 407 572 401Q572 357 507 357 500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263 439 153 359 71T184-11ZM361 278Q361 358 276 358 152 358 115 184 114 180 114 178 106 141 106 117 106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73 316 103 334 153T356 233 361 278Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2831.1,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3220.1,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44A" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674 695 670 692 659 687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624 597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170 666 200 690 241 720 295 759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647 817 650 819 660 823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682 949 681Q1015 681 1034 683 1048 683 1048 672 1048 666 1045 655T1038 640 1028 637Q1006 637 988 631T958 617 939 600 927 584L923 578 754 282Q586-14 585-15 579-22 561-22 546-22 542-17 539-14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239 222-13 220-15T215-19Q210-22 197-22 178-22 176-15 176-12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648 52 671 64 683H76Q118 680 176 680 301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620 262 160 266 136L501 550 499 587Q496 629 489 632 483 636 447 637 428 637 422 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jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width:42.379ex"><svg style="vertical-align:-6.9ex;min-width:42.379ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="14.932ex" role="img" focusable="false"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.0181,-0.0181) translate(0, -3550)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2578,0) translate(-2578,0)"><g transform="translate(0 3550) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(55.25)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6787.8 -3550 1 6600"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44A" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674 695 670 692 659 687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624 597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170 666 200 690 241 720 295 759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 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data-mml-node="mo"><path data-c="23A1" d="M319-645V1154H666V1070H403V-645H319Z" transform="translate(0,2396)"/><path data-c="23A3" d="M319-644V1155H403V-560H666V-644H319Z" transform="translate(0,-2406)"/><svg width="667" height="3202" y="-1351" x="0" viewBox="0 800.5 667 3202"><path data-c="23A2" d="M319 0V602H403V0H319Z" transform="scale(1,7.978)"/></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(667,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,2800)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(9.7,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253 656 197 644 161T609 80 554 12 482-11Q438-11 404 5T355 48Q354 47 352 44 311-11 252-11 226-11 202-5T155 14 118 53 104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381 173 390 173 393T169 400 158 404H154Q131 404 112 385T82 344 65 302 57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287 21 293 29 315T52 366 96 418 161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 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transform="translate(1389,0)"/></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>与上述矩阵相乘与与<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.324ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8983.1 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="5B" d="M118-250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(278,0)"><path data-c="2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0 96 17 78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0 543 17 525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0 990 17 972 60Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1616.7,0)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666 297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320 460 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87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136 341 143 342 152 345 165 348 182 354 206 362 238 373 281Q402 395 406 404 419 431 449 431 468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42 487 26Q558 26 600 148 609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357 580 385Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(749,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578 200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641 273 663Q275 666 285 666 294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48 401 46H427V0H416Q395 3 257 3 121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47 193 50 201 52 207 57 213 61V578Z"/></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4269.2,0)"><text data-variant="italic" transform="scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="serif" font-style="italic">，</text></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5269.2,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253 656 197 644 161T609 80 554 12 482-11Q438-11 404 5T355 48Q354 47 352 44 311-11 252-11 226-11 202-5T155 14 118 53 104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381 173 390 173 393T169 400 158 404H154Q131 404 112 385T82 344 65 302 57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287 21 293 29 315T52 366 96 418 161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136 341 143 342 152 345 165 348 182 354 206 362 238 373 281Q402 395 406 404 419 431 449 431 468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42 487 26Q558 26 600 148 609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357 580 385Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(749,-150) scale(0.707)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666 297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320 460 165 417 83 397 41 362 16T301-15 250-22Q224-22 198-16T137 16 82 83Q39 165 39 320 39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629 208 629 178 597 153 571 145 525T137 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120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0 543 17 525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0 990 17 972 60Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8705.1,0)"><path data-c="5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"/></g></g></g></svg></mjx-container>卷积相同。 滑动到不同位置的功能对应于在那些位置具有神经元。</p><p>二维卷积层呢？</p><p><img src="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001849149/20200504113759.webp" class="lazyload" data-srcset="https://static.mhuig.top/npm/mhgoos@0.0.1652001849149/20200504113759.webp" srcset="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///////yH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==" alt="二维卷积层"></p><p>二维卷积层的布线对应于二维卷积。</p><p>考虑上面的示例，通过使用卷积来检测图像边缘，方法是在周围滑动一个内核并将其应用于每个面片。 就像这样，卷积层会将神经元应用于图像的每个 patch。</p></div><div class="story post-story"><h2 id="结论"><a href="#结论" class="headerlink" title="结论"></a>结论</h2><p>我们在此博客文章中介绍了许多数学机制，但是获得的结果可能并不明显。 卷积显然是概率论和计算机图形学中的有用工具，但是从卷积的角度说卷积神经网络有什么好处呢？</p><p>第一个优点是我们拥有一些非常强大的语言来描述网络的布线。 到目前为止，我们所处理的示例还不够复杂，以至于无法清楚地看到这种好处，但是通过卷积可以使我们摆脱大量令人不快的簿记工作。</p><p>其次，卷积具有明显的实施优势。 许多库提供高效的卷积例程。 此外，尽管卷积天真地看起来是<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align:-.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.975ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2641 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42 304-22Q207-22 138 35T51 201Q50 209 50 244 50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704 514 704 524 703 621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605 242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"/></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(763,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488 164 576 202 643 244 695 277 729 302 750H315 319Q333 750 333 741 333 738 316 720T275 667 226 581 184 443 167 250 184 58 225-81 274-167 316-220 333-241Q333-250 318-250H315 302L274-226Q180-141 137-14T94 250Z"/></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1152,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341 56 388 89 425 135 442Q171 442 195 424T225 390 231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442 436 442 469 415T503 336 465 179 427 52Q427 26 444 26 450 26 453 27 482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153 580 153 580 145 580 144 576 130 568 101 554 73T508 17 439-10Q392-10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291 189 157Q156 26 151 16 138-11 108-11 95-11 87-5T76 7 74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366 153 405 129 405 91 405 66 305 60 285 60 284 58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"/></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1752,0)"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315 301 241Q265 210 201 149L142 93 218 92Q375 92 385 97 392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19 31Q50 38 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class="license-meta-item"><div class="license-meta-title">本文作者</div><div class="license-meta-text">MHuiG</div></div><div class="license-meta-item"><div class="license-meta-title">发布于</div><div class="license-meta-text">2020年3月9日</div></div><div class="license-meta-item"><div class="license-meta-title">许可协议</div><div class="license-meta-text"><a href="https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.zh#" target="_blank" rel="external nofollow noopener noreferrer">CC BY-NC-SA 4.0</a></div></div></div><div class="license-statement">署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际。</div></div></div><div class="article-meta" id="bottom"><div class="new-meta-box"><div class="new-meta-item category"><i class="fa-duotone fa-folder-open fa-fw" aria-hidden="true"></i> <a class="category-link" href="/categories/Math/">Math</a><span class="sep"></span><a class="category-link" href="/categories/Math/%E6%A6%82%E7%8E%87/">概率</a> <span hidden itemprop="about" itemscope itemtype="http://schema.org/Thing"><a 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class="notlink"><i class="fa-duotone fa-calendar-alt fa-fw" aria-hidden="true"></i><p>发布于：2020年3月9日</p></a></div><div class="new-meta-item date" itemprop="dateModified" datetime="2020-03-09T20:05:42+08:00"><a class="notlink"><i class="fa-duotone fa-edit fa-fw" aria-hidden="true"></i><p>更新于：2020年3月9日</p></a></div></div></div><div class="prev-next"><a class="prev" href="/p/4a17b156/"><p class="title"><i class="fa-solid fa-chevron-left" aria-hidden="true"></i>Hello World</p><p class="content">你好，世界！ 全新的主题，熟悉的代码，怎能不再次心动？ 这是 MHuiG 的又一个博客！ 原博客数据不再迁移此处，将其作为该博客的子站我的 NoteBook: https://mh...</p></a><a class="next" href="/p/bfe2ff2a/"><p class="title">JavaScript 反调试<i class="fa-solid fa-chevron-right" aria-hidden="true"></i></p><p class="content">总结一下关于 JavaScript 反调试技巧方面的内容。本文的目的是收集与 JavaScript 中的反调试有关的小窍门（其中一些已经被恶意软件或商业产品使用）。 对于 JavaScript ...</p></a></div><div class="recommended-article"><div class="recommended-article-header"><i class="fa-solid fa-bookmark fa-fw" aria-hidden="true"></i> 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